➕➖ mathy ➗✖️

Welcome!✌ I write math stuff here.

☀️

🌒

Latin Standard

Libertinus

Soal Simulasi IMO Pelatnas 2022 (Based on G6)

Published on 04 January 2023

Saya mengisi pelatnas terakhir tim IMO 2022 sebelum keberangkatan tim ke Oslo, Norwegia. Dalam pelatnas tersebut, saya memiliki kesempatan untuk memasukkan soal saya dalam sebuah simulasi IMO. Kebetulan, saya memiliki sebuah soal pada database saya, di mana soal ini terinspirasi dari IMO SL G6 2012 dan OSN Shortlist 2008. Berikut ini merupakan statement soalnya.

Problem Statement (English)

Let $ABC$ be a triangle with incenter $I$ and circumcenter $O$. The points $D, E$ and $F$ are on the sides $BC, CA$ and $AB$ respectively such that $$DC + CE = EA + AF = FB + BD.$$

The circumcircles of the triangles $BDF$ and $CDE$ intersect at a point $P \neq D$.

Prove that as $P$ varies, the perpendicular bisector of $IP$ passes through a fixed point.
Prove that the fixed point above lies on the line $OI$.

Untuk solusinya, dapat dilihat di AoPS: here. If I have enough time sometime later, I might post my original solution here.

Authorship note.

Syarat $D, E, F$ trisect the perimeter of $ABC$ pertama kali saya temukan pada soal OSN Shortlist 2008 berikut. Bedanya, soal ini merupakan soal ketaksamaan yang meminta kita untuk membuktikan bahwa keliling $DEF$ tidak lebih kecil daripada keliling $ABC$. Soal ini cukup mudah, karena terdapat soal yang mirip, yakni USA TSTST, yang lucunya muncul setelah OSN SL tersebut. Saya sempat menggambar konfigurasi soal OSN SL tersebut di geogebra. Konfigurasi dari IMO SL 2012 G6 membuat saya melakukan hal yang sama, yakni mencari titik potong (miquel) dari lingkaran-lingkaran luar segitiga-segitiga $AEF$, $BDF$, dan $CDE$, lalu mencari tempat kedudukan dari titik miquel tersebut. Hasilnya ternyata cukup mengagetkan, dan cukup baik sehingga bisa dibuat menjadi sebuah soal.

Karena konfigurasinya cukup sederhana dan soalnya mirip dengan soal lama, saya tidak berencana untuk mem-proposenya ke sebuah perlombaan, sehingga memasukkannya ke dalam forum atau menjadi soal pelatnas menjadi beberapa pilihan yang mungkin. Kesalahan saya adalah menganggap soal ini mudah (karena mengasumsikan bahwa para peserta pelatnas pasti sudah pada pernah mengerjakan, atau setidaknya membaca solusi, dari shortlist-shortlist lama termasuk IMO SL 2012 G6. Apalagi itu kan geometri), sehingga saya menempatkannya di nomor 1. Ternyata saya terlalu naif lol, tapi untung ada yang bisa satu orang.

Thanks for reading! Have a nice day! 😄